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    插值法(2).pdf
    文档介绍:
    第三章插值法和最小二乘法
    §3.2 插值多项式中的误差
    §3.2 插值多项式中的误差
    一、插值余项
    从上节可知, y = f (x)的Lagrange插值
    n
    Ln(x) = å y jl j (x)
    j =0
    满足 Ln (xi ) = f (xi ) i = 0,1,L, n
    但"x Î[a,b] Ln (x) = f (x) 不会完全成立
    因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估
    计这个截断误差呢?
    假设在区间[a,b]上f (x)的插值多项式为Pn (x)
    令 Rn (x) = f (x) ­ Pn (x)
    显然在插值节点为xi (i = 0,1,L,n)上
    Rn (xi ) = f (xi ) ­ Pn (xi ) = 0 ,i = 0,1,L,n
    因此Rn (x)在[a,b]上至少有n +1个零点
    设 Rn (x) = K(x)ω n+1(x)
    其中ω n+1(x) = (x ­ x0 )(x ­ x1)L(x ­ xn ) K(x)为待定函数
    Rn (x) = f (x) ­ Pn (x) = K(x)ω n+1(x)
    注意与
    f (x) ­ Pn (x) ­ K(x)ω n+1(x) = 0 t x
    的区分
    若引入辅助函数?(t) = f (t) ­ Pn (t) ­ K(x)ω n+1(t)
    也可令?(t)
    则有?(x) = f (x)­ Pn (x) ­ K(x)ω n+1 (x) = 0
    = R(x)ωn+1(t)
    ­ R(t )ωn+1 (x)
    且?(xi ) = f (xi )­ Pn (xi ) ­ K(x)ω n+1 (xi )
    = Rn (xi ) ­ K(x)ωn+1(xi ) = 0 i = 0,1,L, n
    因此,若令x ¹ xi ,?(t)在区间[a,b]上至少有n + 2个零点,即
    ?(x) = 0 , ?(xi ) = 0 , i = 0,1,2,L, n
    由于Pn (x)和ω n+1(x)为多项式,因此若f (x)可微,则?(t)也可微
    根据Rolle定理, ?¢(t)在区间(a,b)上有至少n +1个零点
    再由Rolle定理, ?¢¢(t)在区间(a,b)上有至少n个零点
    依此类推
    在区间(a,b)内至少有一个点ξ,使得?(t)的n +1阶导数为零
    (n+1)
    ?(ξ) = 0 ?(t) = f (t) ­ Pn (t) ­ K (x)ωn+1 (t)
    (n+1) (n+1) (n+1) (n+1)
    由于?(t) = f (t) ­ Pn (t) ­ K(x)ωn+1 (t)
    (n+1) (n+1) (n+1) (n+1)
    因此?(ξ) = f (ξ) ­ Pn (ξ) ­ K(x)ωn+1 (ξ)
    = f (n+1) (ξ) ­ K(x)×(n +1)! = 0
    f (n+1) (ξ)
    K(x) =
    (n +1)!
    f (n+1) (ξ)
    所以 R (x) = K(x)ω(x) = ω(x)
    n n+1 (n +1)! n+1
    称Rn (x)为插值多项式Pn (x)的余项(截断误差)
    定理1. 设f (x)在区间[a,b]上n + 1阶可微, Pn(x)为f (x)在[a,b]上的
    n
    n次插值多项式,插值节点为{xi }i=0 Ì [a,b],则"x Î[a,b],有
    f (n+1) (ξ)
    Rn (x) = ω(x)
    (n +1)! n+1 Lagrange型余项
    n
    其中且依赖于
    ωn+1(x) = Õ(x ­ xi ) , ξÎ(a,b) , x.
    i=0
    ( n+1)
    设 M n+1 = max| f (x)|
    a£ x£b
    n
    Nn+1 =|ωn+1(x)|=|Õ(x ­ xi )|
    i =0
    f (n+1)(ξ)
    则|R (x)| = ωn+ (x)
    n (n + 1)! 1
    1
    £ M N
    (n + 1)! n+1 n+1
    例1: 在上节例1.中,若f (x) = x ,三个节点为144,169,225
    试估计用Lagrange线性和二次插值做f (175)近似值的
    截断误差.
    解: 设R1(x)为Lagrange线性插值的余项
    R2 (x)为二次Lagrange插值的余项
    3 5
    1 1 ­ 3 ­
    f ¢(x) = f ¢¢(x) = ­ x 2 f ¢¢¢(x) = x 2
    2 x 4 8
    ­4
    M 2 = max | f ¢¢(x)| =| f ¢¢(169)|£ ´
    169£ x£225 1.14 10
    ­6
    M 3 = max | f ¢¢¢(x)|= f ¢¢¢
    144£ x£225 | (144)|£ 1.51´ 10
    N2 (175) =| ω2 (175) | =|(175 ­ 169)(175 ­ 225)|= 300
    N3 (175) =|ω3(175) | =|(175 ­ 144)(175 ­ 169)(175 ­ 225)|= 9300
    1 1 ­ ­
    | R (175) | £ M N £ ´ 1.14´ 10 4 ´ 300 £ 1.71´ 10 2
    1 2! 2 2 2
    1 1 ­6 ­3
    | R (175) | £ M 3 N3 £ ´ 1.51´ 10 ´ 9300 £ 2.35´ 10
    2 3! 6
    从以上分析可知,在求 175时
    用Lagrange二次插值比线性插值的误差更小
    1
    例2. 设函数 f (x) = , xÎ[­5,5]
    1 + x2
    10
    将[­5,5]n等份取n + 1个节点x = ­5 + ih,h = ,i = 0,1,L,n
    i n
    试就n = 2,4,6,8,10作f (x)的n次Lagrange插值多项式
    并作图比较.
    1
    解: yi = f (xi ) = 2
    1 + xi
    作n次Lagrange插值多项式
    é ù
    n 1 n (x ­ x )
    L (x) = ê × i ú
    n å ê 2 Õ ú n = 2,4,6,8,10
    j=0 1+ x j i=0 (x j ­ xi )
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